2018 年黑龙江预赛 · 第 20 题

解答

取 $B=(0,0),F=(L,0)$，令 $\angle EBF=\theta$。因为 $EF\perp BE$，圆以 $BF$ 为直径，其方程为 $x^2+y^2=Lx$；点 $E=(L{\cos }^2\theta ,L\sin \theta \cos \theta )$。$BE$ 平分角B，故 $BC$ 的单位方向为 $(\cos 2\theta ,\sin 2\theta )$。圆心 $O=(L/2,0)$ 满足

而 $AC\perp BC$，所以 $OE\perp AC$，即

沿 $BC$ 代入圆方程，第二交点的有向距离为 $BD=L\cos 2\theta$。由切线在BC上的投影，

故

又 $BH=L{\cos }^2\theta$，所以

若 $CD=HF=1,EH=3$，则直角三角形 $BEF$ 的高满足 $E{H}^2=BH\cdot HF$，得 $BH=9$、$BF=10$。又 $\tan \theta =EH/BH=1/3$，从而 $\cos 2\theta =4/5$，$BC=9$。直角三角形ABC给 $AB\cos 2\theta =BC$，所以