培玉 · 一试
一试训练题
F2填空题函数综合
正实数x₁、…、x₅循环满足xᵢ(1+xᵢ₊₁)=2，x₆=x₁。求全部解。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
递减映射的奇周期只能是固定点。
解答
令T(t)=2/t-1，在正数输入严格递减。若相邻轨道值x1<x2，五次作用T后，每一步比较的两个值都仍是题设正轨道中的值，所以大小反转五次，得到T⁵(x1)>T⁵(x2)，即x1>x2，矛盾。反向不等同理不可能，因此x1=x2，递推使全相等。正固定点满足t²+t=2，唯一t=1，故全部为1。 所求为 。
复核
复合单调性只在每步保持正的共同轨道域使用；可用奇周期最大最小交替证明。
方法总结
递减映射的奇周期只能是固定点。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
递减映射的奇周期只能是固定点。
已记下，谢谢！