2016 年黑龙江预赛 · 第 22 题

解答

有 $f^{\prime }(x)=a/(1+ax)-2/(1+x{)}^2$。在一处为极值迫使 $a/(1+a)=1/2$，即 $a=1$；此时 $f^{\prime }(x)=(x-1)/(1+x{)}^2$，一确为极小点，故第一问 $\boxed{a=1}$。第二问代 $x=1$ 得 $\ln (1+a)\ge \ln 2$，必要 $a\ge 1$。当 $a=1$ 时上述单调性给全域最小值 $f(1)=\ln 2$；当 $a\ge 1$，对每个 $x\ge 0$ 有 $\ln (1+ax)\ge \ln (1+x)$，故仍成立。答案为 $\boxed{a\in [1,+\infty )}$。