一试训练题

解答

记最大元素和为 $V_n$。最大元素为k时，其余元素任取，有 $2^{k-1}$ 个子集，故 $V_n={\sum }_{k=1}^{n}k{2}^{k-1}=(n-1)2^n+1$，末式可用归纳验证。反射 $T\mapsto \{n+1-t:t\in T\}$ 是非空子集间的双射，故所有最小元素之和为 $(n+1)(2^n-1)-V_n$。相减得跨度和 $2V_n-(n+1)(2^n-1)=\boxed{(n-3)2^n+n+3}$。