培玉 · 一试
2022 年贵州预赛
双曲线上的整数格点
F1选择题数论
双曲线 上格点（横纵坐标均为整数的点）的个数为（ ）
A. B. C. D.
作答
标准答案：A
解析
思路
把平方差分解成两个整数因子的乘积，再利用这两个因子必同奇偶，可以直接检验模 条件。
解答
若存在整数解，则
整数 与 同奇偶。若二者均为偶数，则其乘积被 整除；若二者均为奇数，则乘积为奇数。但
两种情况都不可能。因此双曲线上没有格点，答案为
复核
平方差的两个因子之和为 、之差为 ，故同奇偶条件是整数解的必要条件； 恰为模 余 ，排除完整。
方法总结
处理 的整数解时，先写成 ，再检查因子同奇偶这一额外约束；当 时可立即判定无解。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
平方差模4不能为2，而2022恰余2，直接得到无格点，是基本同余性质应用。
已记下，谢谢！