易混 2023 年贵州预赛 · P006687
整数参数的端点比较都应精确看相邻差，而不是只取连续驻点附近的一个整数。差分从负到正且中间没有零，会有唯一转折项；若某步差分恰为零，两个相邻整数都需保留。
一个直接求数列的最小项，另一个还要将整数端点的比较接回开区间并集；端点函数达到最小，不代表该开端点就是原函数取得的值。
培玉 · 一试
2021 年广西预赛
F3填空题函数的值域
设 为正整数，函数
的值域为 。记 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把 作为变量。
思路
函数 在 上递增，因此每个值域由两个开端点直接给出。
解答
对 ，，且 严格递增，故
左端点的最小值为 ，在 处取得；右端点的最大值为 ，在 处取得。对 ，每个 都含有 ；而 与 相交，所以这些开区间的并集没有缺口。 因此
复核
两个极端值都是开端点，不能取到； 时各区间含 ，且 与 相交， 故并集没有中间缺口。
方法总结
带整数参数的值域并集，先求每个参数下的端点，再检查端点极值和相邻区间是否连通。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
求每个开区间后还需找离散左端最小值，并验证区间彼此重叠从而并集没有空隙。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！