垫脚石（此题 → 相关题） 2021 年江西预赛 · P005928
两题都把“至少选中一个指定元素”改成完全避开该元素集合，再从全部子集中扣除。
前题的特殊元素集合已经给定；后题须先把两类数的重合准确扣除，才能使用同一补集结构。
培玉 · 一试
2021 年北京预赛
F1填空题排列组合
设 ，。已知 ，则 有种可能。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
把 看成九元全集的任意子集。
思路
直接按交集中元素的个数分类也可行， 但用补集计数更简洁：从全部子集中扣除与 不相交的子集。
解答
记
的子集共有 个。若 ，则 只能从
中选取，因此这样的 共有 个。
故满足 的 的个数为
复核
也可以先从 中选取一个非空子集，共 种，再从 中任取子集，共 种，得到
与补集计数一致。
方法总结
对子集满足“与固定集合交集非空”的计数，最稳妥的做法是用全部子集数减去交集为空的 子集数；也可把固定集合中的非空选择与其补集中的任意选择分开计数作复核。
为什么评为 F1（会透露解法方向）
不相交时只能从余下五个元素中任选，直接算2⁹-2⁵。
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