培玉 · 一试

专题地图 › 递推数列

2016 年天津预赛 · 第 15 题

F4解答题递推数列

设

f (x) = \frac{x}{x + 1}, a_{1} = \frac{1}{2}, a_{2} = \frac{3}{4},

且

a_{n + 2} = f (a_{n}) + f (a_{n + 1}), n = 1, 2, \dots .

求证：对任何正整数 $n$ ，有

f (3 \cdot 2^{n - 1}) \leq a_{2 n} \leq f (3 \cdot 2^{2 n - 2}) .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F4（会透露解法方向）

须选取补量比换元，证明二维不变比例区域，再从隔项增长导出偶数项的指数夹逼，非直接套通项可解。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：递推的不变区间与临界值

专题卡：分式递推求通项：取倒数，把它变成等差或等比数列、数列只问范围：不变区间、单调和夹逼