2016 年安徽预赛 · 第 7 题

解答

设椭圆为 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$，焦点 $(\pm c,0)$，$c>0$。抛物线焦点为原点，若准线写作 $n_{1}x+n_{2}y=d$，其中法向量为单位向量，则两焦点在抛物线上给 $(\pm c{n}_1-d{)}^2=c^2$。相减得 $d{n}_1=0$；非退化抛物线要求 $d\ne 0$，所以 $n_1=0,d=\pm c$。由对称性取准线 $y=-c$，抛物线为 $x^2=2cy+c^2$，顶点纵坐标负二分之一倍 $c$。与椭圆联立得 $y^2/b^2+2cy/a^2+c^2/a^2-1=0$，两根乘积为 $-b^4/a^2<0$。每个大于顶点纵坐标的根给两个对称交点，只有顶点本身给一个。恰有三个交点就要求顶点在椭圆上，即 $b=c/2$。故 $a^2=c^2+b^2=5c^2/4$，得到 $\boxed{e=2/\sqrt{5}}$。