2014 年陕西预赛 · 第 4 题

解答

记 $s=\sin \theta ,c=\cos \theta$。等差中项给 $\sin \alpha =(s+c)/2$；等比中项给 ${\sin }^2\beta =sc$。于是 $\cos 2\alpha =1-2(s+c{)}^2/4=1/2-sc$，$\cos 2\beta =1-2sc$。所以 $\cos 2\alpha -\frac{1}{2}\cos 2\beta =\boxed{0}$。