同一骨架 2026 年四川预赛 · P006144
运动路径很多时，两题都先只记录与目标有关的位置类别。只有同类位置到各目标类别的转移概率一致，才能合并状态，再利用对称关系降低递推规模。
两只兔子的相对位置与一只小虫是否在原顶点，看起来不同，却都在寻找足够而尽量少的状态信息。
培玉 · 一试
2011 年河南预赛 · 第 7 题
F2填空题概率
在棱长为 米的正四面体 中，有一小虫从顶点 处开始按以下规则爬行：在每一顶点处以同样的概率选择通过这个顶点的三条棱之一，并一直爬到这条棱的尽头。记小虫爬了 米后重新回到点 的概率为 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
三个非起点顶点对返回 A 的作用相同，可把四个位置合并成“在 A”和“不在 A”两类。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
下一步在 A 的概率只来自当前不在 A 的路径，每条这样的路径返回概率都是三分之一；这样建立一个一阶递推即可，无需枚举全部路线。
解答
按所在顶点分类。
每条棱长为 米，所以爬行 米对应走完 条棱； 表示此时位于 的概率，其中也包含此前已经回到过 的路径。 若第 步在 ，下一步一定离开 ；若在其余三个顶点中的任意一个，下一步回到 的概率均为 。 所以
依次得
这里只使用每条棱被选择的概率；棱长均为 米使爬行 米恰好对应 步。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
每走一条单位棱对应一步，可按在起点与在其他顶点两类合并状态；用相同的回到起点转移概率列递推，再计算指定步数，不能误算连续停留或首次返回。
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易混 2024 年全国高中数学联赛一试（B 卷） 第 4 题 · P007212
都是走若干步后回到起点，一题的图有交替的两类顶点，使最后一步之前的位置类别已经确定；另一题不能这样交替，只能追踪回到起点的递推概率。
先检查图的可达性与奇偶结构，可能比直接套状态递推更简洁。
已记下，谢谢！