垫脚石（相关题 → 此题） 2013 年河北预赛 第 2 题 · P010371
先把模看成非负实辅助量，比较实部和虚部后再平方，并把辅助量的符号带回原式检验；嵌套的模可以重复这套流程逐层拆开。
前题只有一层模与一个平方步骤；后题外层模又产生一个非负量，需要连续消元，并逐层检查平方后的候选是否真的满足原模等式。
培玉 · 一试
2026 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 6 题
F2填空题复数的概念与运算
若复数 满足 ，则 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
外层的模是非负实数。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
因此先比较等式的实部、虚部，把复数只剩一个非负实参数，再利用模平方求它。
解答
设 。原式给 ，故 。由 ，平方得
其中 不成立，故 。两边平方并用 ，得
因此唯一可能的正参数为 ，从而
复核
对所求正 ，由 得 ，两边开正平方根可还原 。因此 ，外层模确等于 ，与 相加恰为 ，没有平方增根。
方法总结
模长作为一个非负实变量加入复等式后，先比较实虚部；多次平方时记录各边符号，并把候选值按原式反向核验。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
虚部确定后处理一个实变量，两次平方并以符号条件验根。
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