2015 年湖北预赛 · 第 5 题

解答

第一集合中的元素 $2^k$（$1\le k\le 2015$）互不相同。它属于第二集合，当且仅当 存在整数 $j$ 满足 $1\le j\le 2^{2015}$、$2^k=5j-1$。 模 $5$ 的余数按 $2,4,3,1$ 四项循环，所以必要条件为 $k\equiv 2(\mathrm{mod}4)$。 反过来，满足该同余的 $k$ 给出整数 $j=(2^k+1)/5$，且

因此第二集合的下标上界没有再排除元素。可取的 $k$ 为 $2,6,\dots ,2014$，共有 $\boxed{(2014-2)/4+1=504}$ 个。这也核清了第二集合末下标是 $a_{2015}=2^{2015}$。