2024 年广东预赛

解答

记第 $i$ 行第 $j$ 列的数为 $x_{i,j}$。对每个 $i=1,\dots ,8$，令

题设给出

相邻两式相减得 $s_{i,j}=s_{i,j+3}$。又 $s_{i,1},s_{i,2},s_{i,3}$ 是非负整数且和为 $1$，故存在唯一的 $r_i\in \{1,2,3\}$，使得

比较相邻的三行带。若 $r_i=r_{i+1}$，则逐列相减得到

若 $r_i\ne r_{i+1}$，共同出现的第 $i+1,i+2$ 行只能同时支撑两个不同的列剩余类，故这两行全为零；第 $i$ 行恰在 $j\equiv r_i(\mathrm{mod}3)$ 处为 $1$，第 $i+3$ 行恰在 $j\equiv r_{i+1}(\mathrm{mod}3)$ 处为 $1$。

因此，一旦相位在位置 $i$ 发生变化，随后两处不能变化；继续利用 $x_{i,j}=x_{i+3,j}$ 可知所有相位变化位置必须模 $3$ 同余。反之，任取满足这一条件的非空变化位置集合，并在每次变化时把相位改为另外两个值之一，上述规则唯一确定一个合法方格表。

在 $r_1,\dots ,r_8$ 的七个相邻位置中，非空且所有元素模 $3$ 同余的变化位置集合，按大小分别有

种。初始相位有 $3$ 种，每次变化有 $2$ 种新相位，所以非常相位的填法数为

若相位始终不变，则每个允许出现 $1$ 的列可以独立选择三种行剩余类。三种列相位在十列中分别出现 $4,3,3$ 次，故此时共有

种。总数为