2023 年甘肃预赛

解答

设前六项的公差为 $d$。因各项均为整数，$d$ 为整数，且

第 $5$ 项起成等比数列，且 $a_7=4\ne 0$，故

于是

即

解得 $d=1$ 或 $d=5/9$；由 $d$ 为整数，只能有 $d=1$。

因此前六项为

而从第 $5$ 项起的公比为 $2$，即 $a_n=2^{n-5}$（$n\ge 5$）。直接检查 $m=1,2,3,4$，只有 $m=1,3$ 成立。若 $m\ge 5$，令 $x=a_m>0$，则三项为 $x,2x,4x$，题中等式要求

即 $x^2=7/8$，与 $x$ 为正整数矛盾。故