2024 年广东预赛

思路

参数分离把零点数转成图象交点数；泰勒展开 $\ln (1+h)=h-h^2/2+O(h^3)$ 可比较极值点附近两侧等高根，不能把极限当成实际取等。

想法从哪来：第一问的参数只乘x，先把它移到一边，双根问题便变成一条水平线与单峰函数图象的交点数。第二问若继续求a、b的显式值会陷入超越方程，改取两根的对数，能把“它们对应同一个参数”写成同一函数左右两支取相同值。以峰值位置为中心记录两侧偏移量，再比较相同偏移处的函数值，就可判断右侧必须走得更远。原恒不等式于是变成两个偏移量比的统一界。边界参数附近两根合拢，只给必要性中的极限；严格不等式在每个实际参数下成立，故t的临界端点仍可保留。

把参数写成 $m=1+\ln x/x$，由函数图象确定双根参数。第二问令 $u=\ln a,v=\ln b$，把两个零点的联系化为 $u{e}^{-u}=v{e}^{-v}$。