培玉 · 一试
2017 年湖南预赛 · 第 8 题
F2填空题向量的数量积与几何意义
已知 为 上三点，且
则数量积
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
给定的系数和表明外心是另外两点的中点。
思路
以圆心为原点后，这一关系变成两个位置向量互为相反数，再直接算目标点积。
解答
以 为原点，记 的位置向量为 ，共同模长为 。题设化为
从而 。因此
复核
几何上 是一条直径的端点，非退化时 为直角。直接向量计算还覆盖端点重合导致某个边向量为零的情况，无需对未定义角作判断。
方法总结
系数和为1的顶点向量表示，常对应中点或分点。圆心取原点后，直径端点的相反位置向量可立即消去点积。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
向量系数关系先转为圆心是弦中点，圆心取原点后两端位置向量相反；直接点积还可覆盖零边向量的退化情形。
已记下，谢谢！