2025 年重庆预赛

解答

记 $F=(c,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2-1}$。若 $AB\perp x$ 轴，则由椭圆关于 $x$ 轴对称及 $C=A+B$，$C,D$ 必为椭圆长轴两端点。圆过 $C,D$ 以及关于 $x$ 轴对称的 $A,B$ 时圆心只能为 $O$，但椭圆上除长轴端点外的点不在圆 $x^2+y^2=a^2$ 上，矛盾。因此 $AB$ 不垂直于 $x$ 轴。

设

并记直线 $AB,CD$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$。由 $A,B$ 在椭圆上，两式相减得

令 $E$ 为 $AB$ 的中点。因 $C=A+B$，有 $E=C/2$，故 $E$ 也在 $CD$ 上，且

由相交弦定理及 $EA=EB=AB/2$，

另一方面，$A,B,C$ 均在椭圆上，所以

将这两个等式与（2）比较，并用 $a>1$，得到

代回（2）又得 $(y_1-y_2{)}^2=3(y_1+y_2{)}^2$，故 $k_1^2=k_2^2$。结合（1），

直线 $AB$ 过 $F$，故 $y=k_1(x-c)$。代入椭圆并利用 $k_1^2=1/a^2$，得

于是 $x_1+x_2=c$，并由直线方程

点 $C$ 在椭圆上，故

再用 $k_1^2=1/a^2$ 及 $c^2=a^2-1$，得到

所以 $a=\boxed{\sqrt{2}}$。

最后验证可达性。取 $a=\sqrt{2},c=1$，令 $AB$ 为直线 $y=(x-1)/\sqrt{2}$，其与椭圆交于两个不同实点 $A,B$。令 $C=A+B$、$D=-C$，则 $C=(1,-1/\sqrt{2})$ 在椭圆上。由上述等式反推有 $A{B}^2=3O{C}^2$，从而 $EA\cdot EB=EC\cdot ED$，故 $A,B,C,D$ 共圆，所有条件均满足。