2017 年湖南预赛 · 第 13 题

解答

由锐角 A 及 $\sin A=4\sqrt{5}/9$，得 $\cos A=1/9$。因 $B+C=\pi -A$，第一目标为 $-\sin 2A+{\cos }^2(A/2)=-8\sqrt{5}/81+5/9=\boxed{(45-8\sqrt{5})/81}$。当 $a=4$，余弦定理给 $16=b^2+c^2-2bc/9\ge 16bc/9$，所以 $bc\le 9$。点积为 $bc\cos A=bc/9$，其最大值在 $b=c=3$ 取得。该时面积 $S=bc\sin A/2=\boxed{2\sqrt{5}}$。