2016 年全国高中数学联赛一试 · 第 11 题

解答

设 $F=(h,0)$，$h>0$，则抛物线为 $y^2=4hx$。记 $P=(u,v)$，其中 $u,v>0$，于是 $v^2=4hu$。 抛物线在 $P$ 处的切线为 $vy=2h(x+u)$，与 $x$ 轴交于 $Q=(-u,0)$。由 $|PQ|=2$，

记 $L=OP=\sqrt{u^2+v^2}$。任一所求圆过第一象限的点 $P$ 且与 $x$ 轴相切，所以圆心在 $x$ 轴上方；可将圆心写为 $(X,R)$，其中 $R>0$ 是半径。 该圆与 $OP$ 相切于 $P$，故圆心到 $P$ 的向量垂直于 $(u,v)$，并且 $P$ 在圆上，从而

利用第一式消去第二式中的 $vR$，得到 $X^2=L^2$。因此两圆的半径分别为

因为 $L>u>0$、$v>0$，两者均为正；代回两式可知它们确实给出所求的两个圆，没有引入多余解。 两圆面积和为 $\pi (R_1^2+R_2^2)$，由 (1)、(2)，

令 $t=1-u^2\in (0,1)$，则

等号当且仅当 $t=1/\sqrt{3}$，它属于 $(0,1)$。此时

反过来，取该 $t$，再按 $u=\sqrt{1-t}$、$v=2\sqrt{t}$ 及 (1)、(2) 构造抛物线和两圆，全部正性、切线及 $|PQ|=2$ 条件均成立。 所以所求点为

此时面积和的最小值为 $(4+2\sqrt{3})\pi$。