培玉 · 一试
一试训练题
F3填空题幂指对
θ∈[-π,π]。若 对所有实数x都严格为正，求θ范围。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
把指数比换成任意正数，检查二次式的最小值。
解答
除以9^x，令t=(2/3)^x>0，得At²-2√2 t+C，其中A=1+cosθ、C=1+sinθ。A或C为0均会在正t处出现非正值；A、C>0时正半轴最小点为√2/A，严格正等价AC>2。令s=sinθ+cosθ，则AC=(s+1)²/2，而-√2≤s≤√2，条件等价s>1。在给定角区间内即0<θ<π/2。 所求为 。
复核
端角0、π/2使二次式出现一个正二重零点，故必须排除。
方法总结
把指数比换成任意正数，检查二次式的最小值。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
把指数比换成任意正数，检查二次式的最小值。
已记下，谢谢！