培玉 · 一试

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2024 年四川预赛

F3解答题复数综合

设复数 $x, y, z$ 满足 $∣ x + 2 y + 3 z ∣ = 1$ ，求

∣ x ∣^{2} + ∣ y ∣^{2} + ∣ z ∣^{2} + ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} ∣

的最小值。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

将线性和旋转为实数后，以实部向量的柯西下界配合模不小于实部绝对值即可建立可达下界。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：展开模平方与数量积

专题卡：模平方的恒等式：由三条长度算内积，用旋转简化条件