2008 年湖南预赛 · 第 17 题

解答

$f\prime (x)=-x/(1+x)\le 0$，故 $b_n=\ln (1+n)-n$，从而 $a_n=n$。约定 $p_0=1$，有 $2k{p}_k=(2k-1)p_{k-1}$，于是 $p_k=(2k+1)p_k-(2k-1)p_{k-1}$。累加得 ${\sum }_{k=1}^n{p}_k=(2n+1)p_n-1$。下面证 $p_n<1/\sqrt{2n+1}$：$n=1$ 时 $1/2<1/\sqrt{3}$；若对 $n$ 成立，则 $p_{n+1}<\sqrt{2n+1}/(2n+2)<1/\sqrt{2n+3}$，最后一步等价于 $(2n+1)(2n+3)<(2n+2{)}^2$。故 ${\sum }_{k=1}^n{p}_k<\sqrt{2n+1}-1=\boxed{\sqrt{2a_n+1}-1}$。