2023 年甘肃预赛

解答

取 $A$ 为原点，以 $AM$ 的方向为 $x$ 轴；在平面 $ABCM$ 内取垂直于 $AM$ 的方向为 $y$ 轴，在平面 $ADM$ 内取垂直于 $AM$ 的方向为 $z$ 轴。由于两平面垂直，这三个方向两两垂直。

折叠前 $△ADM$ 是两直角边均为 $1$ 的等腰直角三角形，且在底面中 $M=(1,1),B=(2,0)$。选择 $y$ 轴正向指向 $B$ 的垂直分量，可得折叠后的坐标

于是

故 $AD\perp BM$。

令

则 $DE:EB=t:(1-t)$。在垂直于 $AM$ 的 $yz$ 平面内，半平面 $D-AM$ 与 $E-AM$ 的方向向量可分别取为

因此二面角余弦为

由题意

两边均非负，平方并化简得 $(1-t{)}^2=t^2$，故 $t=1/2$。所以