2010 年中科大少年班初试 · 第 4 题

解答

设底面四点为 $A=(-1,-1,0),B=(1,-1,0),C=(1,1,0),D=(-1,1,0)$，顶点 $P=(0,0,h)$，$h>0$。则 $B_1=(1/2,-1/2,h/2),D_1=(-1/2,1/2,h/2)$。从 $A$ 出发三向量 $C-A,B_1-A,D_1-A$ 的行列式绝对值为 $2h$，故四面体体积为 $h/3$。原棱锥体积为 $4h/3$，于是 $\boxed{V_{A{B}_{1}C{D}_1}:V_{P-ABCD}=1:4}$，选 C。