2022 年甘肃预赛

思路

质心恒等式 ${\sum }_{i<j}|x_i-x_j{|}^2=m{\sum }_i|x_i-g{|}^2$ 由展开点积得到；同时 $\sum |x_i-g{|}^2=\sum |x_i{|}^2-m|g{|}^2$。允许相切、内部不交。

想法从哪来：球的边界不便直接比较，先把四个小球换成四个球心：装得下给每个球心的半径界，不重叠给每一对球心的距离下界。若只挑一对估计会浪费其余球心，应该将全部六对距离平方相加。展开后由质心把它化为各点到质心的平方距离总和，进一步不超过各点到大球心的总和，于是上下两界连接成关于r的一条不等式。等号要求所有球心都在同一球面上、质心在大球心、两两距离相同，正指向正四面体。最后实际放置这组球心，核对小球彼此相切且与外球内切，才证明半径最大而非只得上界。

把四个小球替换为四个球心。它们到大球球心的距离不超过 $R-r$，任意两球心距离不小于 $2r$。四点两两距离平方和给出统一上界，等号配置正是正四面体。