易混 2018 年辽宁预赛 第 12 题 · P010935
长度乘积不一定直接就是圆幂：直径圆中的垂足和相似可把乘积转成同一底线上的投影，另题的切线长平方才直接等于圆幂。两种差值都能化成一次方向量。
前题依靠底线上各点顺序求投影差；后题依靠公共弦使两圆幂差线性化，平行位移的方向与实切线存在域不能省略。
培玉 · 一试
2009 年黑龙江预赛 · 第 19 题
F3解答题平面几何综合
如图， 是 的直径，弦 的延长线相交于点 ， 的延长线于点 。
求证：
- (1)
；
- (2)
。
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
直径所对圆周角使 分别成为两个垂足。
思路
第一问可补出一个直角共圆四边形；第二问可把两项乘积都转成直径乘其在底线上的投影。
解答
由 为直径，、。又 ，故 ，所以 共圆，同弦 对应的圆周角相等，即
按图中 的顺序，两个直角三角形 在 处的角相同，所以
同理 与 在 处的锐角相同，故
两式相减，并用 ，得到
复核
若取 ，其中 ，两垂足给 、，差为 。这也核对了图中延长线方向，第二个乘积前的减号没有混成有向线段符号。
方法总结
直径圆常把交点转成垂足；线段乘积可通过直角三角形相似变为同一底线上的投影长度。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
F3：仍需自行连接AD、BC并识别两组相似，用同一AB因子拼出差式；不是只套幂定理。
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