专题地图 › 向量的数量积与几何意义
2021 年中科大少年班初试 · 第 6 题
F3解答题向量的数量积与几何意义
在△ABC中，证明
23cosA+cosB+3cosC≤2.
作答
这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。
解析
提示
先固定一个角，把另一个余弦展开成关于 cosA,sinA 的线性式。
思路
柯西不等式消去 A 后，剩下的根式与一次项可以用一个新变量配方。
解答
由 B=π−A−C，
cosB=−cos(A+C)=−cosAcosC+sinAsinC.
记原式左端为 T，则
T=(23−cosC)cosA+sinCsinA+3cosC.
用柯西不等式与 cos2A+sin2A=1，得
T≤(23−cosC)2+sin2C+3cosC=47−3cosC+3cosC.
令 r=7/4−3cosC>0，于是
T≤r+47−r2=2−(r−21)2≤2.
所以
23cosA+cosB+3cosC≤2.
复核
取 A=90∘,B=60∘,C=30∘，则 r=1/2，柯西中的系数向量为 (0,1/2)，与 (cosA,sinA)=(0,1) 同向。两步同时取等，左端为 0+1/2+3/2=2。
方法总结
三角形多角线性三角式可先固定一角，用和角公式和单位向量的柯西界消去另一角；根式与其平方的组合随后可配方求全局界。
为什么评为 F3（会透露解法方向）
须识别权重配成2yz/2zx/2xy，并选择内积为负余弦的有向边；核心一次范数模型识别。
用到的方法（会透露解法方向）
核心工具：用实参数表示后求全局最值
专题卡：角度、斜率或位置变化：化成一个变量再比较、向量长度的最值：先给界，再写出等号何时成立
培玉 · 一试