2023 年江西预赛

解答

不妨取 $A=(a,0),B=(-a,0)$，并记 $t=b^2$。直线 $PA$ 为 $y=1-x/a$。 除顶点 $A$ 外，它与双曲线的另一交点为

而 $D$ 是 $C$ 关于 $y$ 轴的对称点。这里 $t\ne 1$，否则不存在题设所说的另一有限交点。

双曲线在 $C$ 处的切线为 $x{x}_C/a^2-y{y}_C/b^2=1$。两条对称切线相交于

设底边 $CD$ 的半长为 $X$，则

正三角形的高等于 $\sqrt{3}X$，故

又正三角形面积为 $\sqrt{3}{X}^2=16\sqrt{3}/27$，所以 $X=4/(3\sqrt{3})$。于是

当 $0<t<1$ 时解得 $t=1/3$；当 $t>1$ 时得到 $3t^2-2t+11=0$，无实根。因此

所求双曲线为

即 $27x^2/4-3y^2=1$。