2018 年湖南预赛

解答

令 $s=\sin x,c=\cos x$，则 $s^2+c^2=1$，且 $s,c\le 1$。于是 $3s^3+c^3\le 3s^2+c^2=3-2c^2\le 3$。题给左端等于三，所以后一个不等式必须取等，得 $c=0$；回到原式 $3s^3=3$ 得 $s=1$。因此 ${\sin }^{2018}x+{\cos }^{2018}x=1^{2018}+0^{2018}=\boxed{1}$。