2011 年安徽预赛 · 第 7 题

解答

记交点复数为 $u\in \mathbb{R}$。因 $z$ 非实，$z^{-1}$ 也非实且不同于 $z$，故共线条件可写为 $(u-z)/(u-z^{-1})\in \mathbb{R}$。将此式与共轭式交叉相乘，整理得 $(z-\overline{z})[(1+z\overline{z})u-(z+\overline{z})]=0$。由 $z-\overline{z}\ne 0$，得到 $\boxed{u=\frac{z+\overline{z}}{1+z\overline{z}}}$。