2026 年广东预赛

思路

伴随量是为简化递推额外引入的数列；这里取 $c_n=\sqrt{b_n^2+1}$，便恒有 $c_n^2-b_n^2=1$。利用这一恒等式验证新根式后，必须用非负性排除负号。

想法从哪来：先试把根号内配成平方加常数，中心不在零而在一，因此平移比直接猜等比数列更自然。再把平方前的系数吸收到新变量里，根号就成为“新变量平方加一”。这个形式提示同时记录新变量与它对应的正根，而非反复把根式嵌套下去。 下一步检验这两个量能否封闭递推：若新正根仍是原两量的线性组合，复杂的单变量递推就变成简单的二元线性关系。系数对称时试和与差，恰能分别变成等比数列。整个方法只用了平方差与等比通项，关键是每次从平方等式恢复正根时都要知道符号。

根号内配方后为 $3(a_n-1{)}^2+1$。平移并乘以 $\sqrt{3}$ 后，引入根式作为伴随数列；两个量的和与差分别形成等比数列，从而可在高中代数范围内求出通项。