2010 年河南预赛（高二卷） · 第 11 题

解答

记圆心为 $C=(-1,0)$，写 $M=(-1+u,v)$，其中 $u^2+v^2=8$。由 $\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AP}$ 得 $P=(u/2,v/2)$。设 $N=C+t(M-C)=(-1+tu,tv)$，则垂直条件为

所以 $t=1/(4-u)$。因 $|u|\le 2\sqrt{2}<3$，有 $0<t<1$，故 $N$ 确在线段 $MC$ 内。 令 $N=(x,y)$，由上述坐标关系得到

代回圆方程，化简为 $x^2+2y^2=2$。反过来，此椭圆上 $x+2>0$，按这两式恢复 $u,v$，便有 $u^2+v^2=8$；再取 $t=(x+2)/4$，即可恢复全部原条件。因此完整轨迹为

过 $F=(2,0)$ 的竖直线不与 $E$ 相交，其余直线写成 $y=k(x-2)$。令 $s=2-x$，交点方程为

有两个不同实交点当且仅当 $|k|<1/\sqrt{2}$；两根的和与积都为正，所以两个交点都在从 $F$ 向左的同一射线上。令小根对应 $G$、大根对应 $H$，即有

当 $|k|<1/\sqrt{2}$ 时，根号的值恰取遍 $(0,\sqrt{2}]$，因而