2010 年河北预赛 · 第 14 题

解答

取 $A=(0,0,0),B=(2,0,0),D=(0,\sqrt{2},0),C=(1,\sqrt{2},0),P=(0,0,4)$。于是 $M=(0,\sqrt{2}/2,2),N=(1,0,2)$，截平面方程为 $x+\sqrt{2}y+z=3$。（1）在 $PA$ 上有 $x=y=0$，得 $Q=(0,0,3)$，所以 $\boxed{PQ=1}$。（2）截面与底面相交直线为 $x+\sqrt{2}y=3,z=0$。底面内部与截面内部的水平投影都在 $x+\sqrt{2}y<3$ 一侧，沿该交线作垂直截面，二面角为锐角；两平面法向 $(1,\sqrt{2},1),(0,0,1)$ 的夹角余弦为二分之一，故 $\boxed{\theta =60^{\circ }}$。（3）截平面法向模为二，$A$ 到它的距离为 $\boxed{3/2}$。