同一骨架 2022 年浙江预赛 · P006912
两题都利用单位复数的模平方展开，把整体长度与共轭混合项的对称和联系起来。差的模平方直接含有一对共轭项；和的模平方则把多项循环乘积与其共轭集中出现。认出这种对称结构后，都可只处理所需实部，避免逐个求角度。
从两项到三项后混合项更多；循环比值先变为共轭乘积，再与整体模平方匹配，不能逐个套两项距离结果。
培玉 · 一试
2018 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 8 题
F2填空题复数的概念与运算
已知复数 满足 ，，其中 是给定实数，则 的实部是（用含有 的式子表示）。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
单位复数的倒数等于共轭。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
思路
这样三个循环比值可以改写为乘积，而三个复数和的模平方恰好含有这些乘积及其共轭。
解答
记
由 可知 且 ，故
于是展开模平方得
因此所求实部为 。
复核
若 ，则 ，公式给出 ；若 ，其中 ，则 ，实部为 ，也与公式一致。一般结论由模平方恒等式直接保证。
方法总结
单位模条件往往提示把除法转为共轭乘法。若目标只求实部，可以寻找 ，不必分别计算各复数的辐角。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
单位模直接提示倒数化共轭，再展开已知和的模平方提取实部。
联系 · 1 条
已记下，谢谢！