2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

F4解答题双曲线

（本题满分 $20$ 分）在平面直角坐标系中，双曲线 $Γ : \frac{x ^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 。对平面内不在 $Γ$ 上的任意一点 $P$ ，记 $Ω_{P}$ 为过点 $P$ 且与 $Γ$ 有两个交点的直线的全体。对任意直线 $l \in Ω_{P}$ ，记 $M, N$ 为 $l$ 与 $Γ$ 的两个交点，定义 $f_{P} (l) = ∣ PM ∣ \cdot ∣ PN ∣$ 。若存在一条直线 $l_{0} \in Ω_{P}$ 满足： $l_{0}$ 与 $Γ$ 的两个交点位于 $y$ 轴异侧，且对任意直线 $l \in Ω_{P}$ ， $l \neq = l_{0}$ ，均有 $f_{P} (l) > f_{P} (l_{0})$ ，则称 $P$ 为“好点”。求所有好点所构成的区域的面积。

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

解答

设 $P = (u, v)$ ，记

K = ∣ u^{2} - 3 v^{2} - 3∣ > 0.

对过 $P$ 的非竖直直线 $l : y = k x + b$ ，有 $b = v - k u$ 。代入双曲线方程，交点横坐标满足

(\frac{1}{3} - k^{2}) x^{2} - 2 kb x - (b^{2} + 1) = 0. (1)

当 $k^{2} = 1/3$ 时，该式至多有一个实数解，故不属于 $Ω_{P}$ 。当 $k^{2} \neq = 1/3$ 时，判别式为

Δ = \frac{4}{3} (b^{2} + 1 - 3 k^{2}),

所以 $l \in Ω_{P}$ 当且仅当

b^{2} + 1 - 3 k^{2} > 0. (2)

若两交点横坐标为 $x_{1}, x_{2}$ ，把 $x = u$ 代入式 (1) 左端，得

(\frac{1}{3} - k^{2}) (u - x_{1}) (u - x_{2}) = \frac{u ^{2}}{3} - v^{2} - 1.

又 $∣ PM ∣ = 1 + k^{2} ∣ x_{1} - u ∣$ ， $∣ PN ∣ = 1 + k^{2} ∣ x_{2} - u ∣$ ，故

f_{P} (l) = K \frac{1 + k ^{2}}{∣1 - 3 k ^{2} ∣} . (3)

先确定题设中的 $l_{0}$ 。 当 $k^{2} < 1/3$ 时，式 (1) 的首项系数为正、常数项为负，故有两个异号实根，交点位于 $y$ 轴异侧。反之，两交点横坐标异号时，由它们的积为 $- (b^{2} + 1) / (1/3 - k^{2}) < 0$ ，必有 $k^{2} < 1/3$ 。因此连接两支的割线恰好对应 $∣ k ∣ < 1/ 3$ ，此时由式 (3)，

f_{P} (l) = K \frac{1 + k ^{2}}{1 - 3 k ^{2}} \geq K,

等号仅在 $k = 0$ 时成立。水平线 $l_{h} : y = v$ 始终与双曲线两支各交于一点，所以若 $P$ 为好点，题设中的 $l_{0}$ 必是 $l_{h}$ ，且 $f_{P} (l_{0}) = K$ 。

好点的必要条件。 若过 $P$ 、斜率为 $1$ 或 $- 1$ 的直线有两个交点，则式 (3) 给出 $f_{P} (l) = K$ ，与严格唯一最小性矛盾。因此这两条直线都必须不满足式 (2)，分别得到

(v - u)^{2} \leq 2, (v + u)^{2} \leq 2.

因为 $max {∣ u - v ∣, ∣ u + v ∣} = ∣ u ∣ + ∣ v ∣$ ，故必要条件为

∣ u ∣ + ∣ v ∣ \leq 2 . (4)

好点的充分条件。 设式 (4) 成立。此时 $∣ u ∣ \leq 2 < 3$ ，故 $P$ 不在双曲线上，过 $P$ 的竖直线也不与双曲线相交。对任意 $∣ k ∣ \geq 1$ ，有

∣ b ∣ = ∣ v - k u ∣ \leq ∣ v ∣ + ∣ k ∣∣ u ∣ \leq ∣ k ∣ (∣ u ∣ + ∣ v ∣) \leq 2 ∣ k ∣,

所以

b^{2} + 1 - 3 k^{2} \leq 1 - k^{2} \leq 0.

由式 (2)，这些直线均不属于 $Ω_{P}$ 。因此除水平线之外，允许的割线斜率只能满足 $0 < k^{2} < 1$ 且 $k^{2} \neq = 1/3$ 。当 $0 < k^{2} < 1/3$ 时，式 (3) 的比值严格大于 $1$ ；当 $1/3 < k^{2} < 1$ 时，

\frac{1 + k ^{2}}{3 k ^{2} - 1} > 1 ⟺ k^{2} < 1,

同样成立。因此对所有 $l \in Ω_{P}$ 、 $l \neq = l_{h}$ ，均有 $f_{P} (l) > K = f_{P} (l_{h})$ ，且水平弦的两个交点位于 $y$ 轴异侧。故 $P$ 为好点。

综上，好点区域恰为 $∣ u ∣ + ∣ v ∣ \leq 2$ ，是以 $(\pm 2, 0), (0, \pm 2)$ 为顶点的正方形。

其两条对角线的长均为 $22$ ，所求面积为

\frac{1}{2} (22)^{2} = 4 .

为什么评为 F4（会透露解法方向）

先在跨两支割线中确定唯一最优方向，再用其他斜率的割线存在条件刻画点域，并独立完成充分性、竖直线和切线边界检查。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：韦达定理：根的整体关系、区分恒成立与存在，求参数范围并验证

专题卡：焦点弦的根和、根积与分支、二次曲线上的向量关系和距离乘积：用 Q 和 B 降次

2022 年全国高中数学联赛一试（A 卷） · 第 11 题

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