培玉 · 一试
2018 年湖南预赛
B卷原3
F2填空题平面几何综合
第3题（填空题）
如图， 与 分别是单位圆 上的定点与动点。角 的始边为射线 ，终边为射线 ；过点 作直线 的垂线，垂足为 。将点 到直线 的距离表示为 的函数 ，求 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
提示
将定射线作为横轴，动点坐标就是单位圆的正弦余弦。
思路
用直线的单位法向量求点到直线距离，会自动处理所有象限和垂足位置。
解答
取 、，则 ，且垂足 。直线 的单位方向向量为 ，故一个单位法向量为 。点 到该直线的距离为
所以
复核
当 或 时距离均为0；当 时， 到直线 的距离为1/2，与公式一致。绝对值覆盖所有象限，且单位圆上OP方向始终有定义。
方法总结
点到过原点直线的距离可用单位法向量点积的绝对值；直线允许垂足落在射线反向，不能擅自删绝对值。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
单位法向量点积的绝对值直接给点到直线距离，自动覆盖所有象限；垂足或投影换向时不能删去绝对值。
已记下，谢谢！