2012 年天津预赛 · 第 6 题

解答

以四点重心 $G$ 为原点，令 $U=(A+B-C-D)/4,V=(A+C-B-D)/4,W=(A+D-B-C)/4$。于是四顶点分别为 $U+V+W,U-V-W,-U+V-W,-U-V+W$。由 $AB=CD$ 得 $V\cdot W=0$，另外两组对棱相等同样给 $U\cdot V=U\cdot W=0$。故四点到 $G$ 等距；它们不共面，所以 $G$ 是唯一外球中心，且 $|U{|}^2+|V{|}^2+|W{|}^2=1$。三组代表棱的平方和为该和的八倍，得到 $\boxed{x^2+y^2+z^2=8}$，选 C。