2015 年辽宁预赛 · 第 10 题

复核

用空间向量计算夹角，再验证完整取值范围。

相似缩放可令棱长为1，以 $A$ 为原点、$AB,AD,A{A}_1$ 为三条坐标轴。置 $t=AM=B_{1}N\in (0,1)$，则

方向向量为 $(t,0,-1)$ 与 $(0,-1,-t)$，点积为 $t>0$，两模均为 $\sqrt{1+t^2}$。所以两直线所成的锐角 $\theta$ 满足

对 $0<s<t<1$，其差为 $\frac{(t-s)(1-st)}{(1+s^2)(1+t^2)}>0$，故严格递增，值域包含在 $(0,1/2)$。反之，每个 $c\in (0,1/2)$，取

代入即得 $t/(1+t^2)=c$，故余弦恰取遍 $(0,1/2)$。因此 $\boxed{\theta \in (\pi /3,\pi /2)}$。两端分别对应不许可的 $t=1,0$，均不取。