同一骨架 2017 年全国高中数学联赛一试(A 卷) 第 1 题 · P007257
两题都把输入平移看作对函数值的确定作用,再检查这些作用何时复合成恒等。乘积中的符号可以互相抵消,平移乘积条件中的负倒数作用也可在重复后恢复原值。
一个需逐因子跟踪相位并筛整数参数,另一个直接复合函数值变换;不能机械要求每个中间量一次平移就保持不变。
若 是函数
的一个周期,则正整数 的所有可能取值为 。
分数写 a/b,根号写 √ 或 sqrt,π 写 pi 也可以。
平移 后只产生符号 ,因而正弦因子的相位增量必须给出相同符号。
先回想这道题的想法,再试试当前题。
令 。因为
要使乘积对所有 保持不变,必须且只须
恒成立。这等价于
由 ,有
相应的 依次为 。比较奇偶性,仅 合法。因此
对 ,两个因子平移后符号乘积确为 ;其余候选均因两因子符号不匹配而失败。
判断给定数是否为乘积型三角函数的周期,可分别追踪各因子的相位增量与符号变化。
须比较平移后两因子的符号配合,把周期条件转为400/n平方为整数且与n同奇偶,而非只取两个单独周期。
同一骨架 2017 年全国高中数学联赛一试(A 卷) 第 1 题 · P007257
两题都把输入平移看作对函数值的确定作用,再检查这些作用何时复合成恒等。乘积中的符号可以互相抵消,平移乘积条件中的负倒数作用也可在重复后恢复原值。
一个需逐因子跟踪相位并筛整数参数,另一个直接复合函数值变换;不能机械要求每个中间量一次平移就保持不变。
已记下,谢谢!