同一骨架 2023 年上海高中数学竞赛（高三卷） · P006758
两题的几何条件先给出一个归一化总量，目标则成为与它配对的平方和或倒数和。把这两部分放进柯西不等式，不仅得到下界，也同时给出取等的比例；比例还须满足原图中的位置限制。
切点坐标的平方与边上截距的角色不同，但都是约束控制尺度、取等比例定位构型。
培玉 · 一试
2026 年上海预赛
椭圆切线两正截距间距离的最小值
F2填空题椭圆
椭圆
的一条切线分别交 轴、 轴正半轴于点 ，则 的最小值为 。
作答
分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。
标准答案：
解析
思路
用切点写出切线的截距，再把切点坐标的平方归一化为两个和为 的正数，问题就变成 的最小值。
想想一道相关的题
先回想这道题的想法，再试试当前题。
解答
设切点为 。因切线与两坐标轴的正半轴相交，必有 。 切线方程为
所以
令
则 ，并且
由柯西不等式，
当 时等号成立，故
复核
取 可得到第一象限内的切点，因而等号确实可达； 两个截距均为正，没有遗漏题设的半轴限制。
方法总结
椭圆切线截距极值题可先用切点式表示截距，再以椭圆方程把坐标平方归一化。 所得倒数和通常由柯西不等式直接处理。
为什么评为 F2（会透露解法方向）
用切点方程写出两正截距，令归一化坐标平方和为1，目标为16/u+9/v，直接套分式柯西并核取等。
联系 · 2 条
同一骨架 2026 年吉林预赛 · P006052
正截距只是几何的外观，关键是把约束归一化成若干正数之和固定，再将目标写成这些数的倒数表达式。极值不等式的等号还必须反向恢复成合法截距。
一个来自切点方程，目标是倒数和；另一个来自过定点的截距式，目标是倒数乘积，不能直接照搬同一组最优比例。
已记下，谢谢！