培玉 · 一试

专题地图 › 数列的和

2024 年新疆预赛

F2填空题数列的和

设数列 ${a_{n}}$ 满足

a_{1} = \frac{1}{5}, 2 a_{n + 1} = 2 a_{n} + a_{n}^{2} .

记

T_{2024} = \frac{1}{a _{1} + 2} + \frac{1}{a _{2} + 2} + \dots + \frac{1}{a _{2024} + 2} .

若 $T_{2024}$ 的值在区间 $(k, k + 1)$ 内，则整数 $k$ 的值为。

作答

分数写 a/b，根号写 √ 或 sqrt，π 写 pi 也可以。

解析

为什么评为 F2（会透露解法方向）

由递推直接裂项得到5减末项倒数，再用各步增量至少1/50验证末项大于1。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：估计余项，确定整数部分、裂项相消

专题卡：裂成相邻差或比，先看能否全部抵消、整数夹逼：保留余项，证明严格端点