2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 2 题

解答

令 $u=2^m>0$，则第二向量为 $(u-1,2u)$。垂直等价于 $u(u-1)-2u=u(u-3)=0$。因u正，只能u=3，所以 $|\mathbf{a}|=\sqrt{u^2+1}=\boxed{\sqrt{10}}$。参数 $m={\log }_{2}3$ 确实存在。