2019 年全国高中数学联赛一试（B 卷） · 第 11 题

思路

复数模满足三角不等式 $|u+v|\le |u|+|v|$。相邻项的比值可以变化，这里没有假设整个数列等比；只把每对的模组成的正数列作等比求和。有限和中的尾项需要保留。

想法从哪来：逐项取模后相加，得到的上界太粗；递推还规定了相邻项的相对方向，应该把这部分信息用起来。先证明每项非零，再除以当前项的平方，得到相邻项比值只有两个可能。虽然每一步可以换分支，它们的模以及“一加这个比值”的模却相同。 因此把项两两配对，每对的模比逐项估计更小，而且配对后的尺度按固定比例缩小。偶数项部分和直接用有限等比和；奇数项则多出一个单项，须保留有限和的余项再比较。若先粗略换成无穷和，额外单项就不好处理，也容易误写严格号。最短的奇数情形单独看，其余情形由余项系数的符号保证严格小于目标。

相邻项成对估计，偶数部分和用有限几何级数，奇数部分和单独比较尾项。