2013 年湖北预赛 · 第 5 题

解答

令 $u=\cos x$、$v=\cos y$。由余弦在 $(0,\pi /2)$ 上严格递减，得 $0<v<u<1$。用二倍角公式，

因为 $0<1-u<1-v<1$，所以 $-2<P<0$。 反过来，对任意 $r\in (0,1)$，取

这时 $0<v<u<1$，存在唯一的 $0<x<y<\pi /2$ 使 $\cos x=u$、$\cos y=v$，且

因此区间 $(-2,0)$ 内每个值均可取到，两端点均不能取，所求范围为 $\boxed{(-2,0)}$。