2011 年中科大少年班初试 · 第 11 题

解答

因非直角三角形的三余弦均非零，将 $\sin (A+B+C)=0$ 展开并除以余弦乘积，得 $\boxed{\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\tan B\tan C}$。故 $(\tan B+\tan C)/\tan A=\tan B\tan C-1$。第二条件随即给 $\tan C(\sqrt{3}-\tan B)=0$；内角正切非零，故 $B=\pi /3$。令 $d=A-C\in (-2\pi /3,2\pi /3),u=\cos d$。倒数等差条件为 $4/\sqrt{3}=(\sin 2A+\sin 2C)/(\sin 2A\sin 2C)=\sqrt{3}u/(u^2-1/4)$。通分得 $4u^2-3u-1=0$，即 $u=1$ 或 $u=-1/4$。因 $|d/2|<\pi /3$，半差余弦为正，故 $\boxed{\cos ((A-C)/2)=1\text{ 或 }\sqrt{6}/4}$。