培玉 · 一试

专题地图 › 不等式的证明

2024 年北京预赛

F3解答题不等式的证明

设 $a, b, c$ 是三个正数，求证：

\frac{2 a}{2 a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 b}{a ^{2} + 2 b ^{2} + c ^{2}} + \frac{2 c}{a ^{2} + b ^{2} + 2 c ^{2}} \leq \frac{3 2 ( a + b + c )}{5 a ^{2} + 5 b ^{2} + 5 c ^{2} + ab + b c + c a} .

作答

这是解答题，请在纸上写出完整过程。写完后对照解答给自己评分。

解析

为什么评为 F3（会透露解法方向）

须用平方和归一化，再辨认t除以根号1+t平方的凹性，使右侧恰成为同一平均值表达式。

用到的方法（会透露解法方向）

核心工具：齐次式取比例，归一化、琴生不等式

专题卡：齐次式、比值和对称式：归一化或换元，减少变量、化成一个变量，或逐项估计再相加