一试训练题

解答

若 $|S|\ge 6$，取其中六个元素。它们的15个数对和两两不同，且均在整数区间 $[3,17]$ 内，所以必须恰好取遍3至17。和为3要求1、2都在其中，和为17要求8、9都在其中。但 $1+9=2+8=10$，这是两个不同数对的相同和，矛盾。因此 $|S|\le 5$。

取 $S=\{1,2,3,5,9\}$，十个数对和依次为 $3,4,6,10,5,7,11,8,12,14$，两两不同。因此最多有 $\boxed{5}$ 个元素。