2022 年四川预赛

两题都由基础对象的长度和混合项，求线性组合的度量。复数共轭乘积的实部对应向量数量积，先展开模平方或数量积就能直接使用给定混合项，无须逐个求坐标或角度。

前题只有一个距离目标，后题还要把新数量积除以两个新向量的模；方向带来的正负号不能忽略。

同样给新向量在一组基础向量下的线性系数，求面积与求夹角依赖的信息不同。面积由系数行列式乘基底的有向面积；夹角须展开两个新模及数量积，保留基础向量的度量关系。

基础向量可垂直却长度不同，也可不垂直；系数本身不是标准正交坐标，不能把求行列式的方法直接当成求数量积。

两题都先用基础向量的模和数量积，展开求新线性组合的长度或夹角，而不必逐一恢复坐标。复数共轭乘积的实部就是数量积；前题用正交条件消去混合项，后题代入已知非零数量积，再把剩下的距离或夹角问题交给已知数据。

一题把新组合看作圆心并继续求到原点的距离范围，另一题还需计算两个新组合的数量积并除以它们的模。

两题都可以不坐标化：由模长与点积组成基础数据表，再双线性展开所求方向的点积和模长。

四面体题问无向直线夹角，最后要取点积绝对值；平面题问指定向量夹角，要保留负号所代表的钝角，不能套同一锐角约定。