2025 年北京预赛

解答

记 $m_n=\lfloor an\rfloor =an+O(1)$。则

题设右边为 $n-1$，两边除以 $n$ 并令 $n\to \infty$，得到

故候选值为

当 $a=(1-\sqrt{5})/2$ 时，取 $n=1$ 有 $\lfloor a\rfloor =-1$，从而

应舍去。

令 $\phi =(1+\sqrt{5})/2$。对任意正整数 $n$，写

由 ${\phi }^2=\phi +1$，

因 $0<(\phi -1)r<1$，故

这正是题设等式，所以